在考研数学中，基本不等式是一个非常重要的工具，尤其在解决一些涉及均值不等式、柯西不等式、算术平均数与几何平均数不等式等问题时。以下是基本不等式在考研中的应用实例：
1. 均值不等式：对于任意的非负实数\(a_1, a_2, ..., a_n\)，有
\[
\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}
\]
当且仅当\(a_1 = a_2 = ... = a_n\)时，等号成立。
2. 柯西不等式：对于任意的实数序列\(x_1, x_2, ..., x_n\)和\(y_1, y_2, ..., y_n\)，有
\[
(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + ... + x_ny_n)^2
\]
当且仅当\(\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = ... = \frac{x_n}{y_n}\)时，等号成立。
3. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意的非负实数\(a_1, a_2, ..., a_n\)，有
\[
\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}
\]
当且仅当\(a_1 = a_2 = ... = a_n\)时，等号成立。
掌握这些基本不等式，不仅可以帮助我们解决考研数学中的许多问题，还能提高解题效率。为了更好地准备考研，建议使用【考研刷题通】小程序，它涵盖了政治、英语、数学等全部考研科目，提供海量刷题资源，助你高效备考。微信搜索【考研刷题通】，开启你的考研刷题之旅！