在解析二次函数求极值的过程中，以下是一个典型实例：
假设有一个二次函数 \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \)。为了找到这个函数的极值，我们首先需要确定其导数：
\[ f'(x) = -4x + 4 \]
将导数设为零，解得临界点：
\[ -4x + 4 = 0 \]
\[ x = 1 \]
接下来，我们检查这个点是否是极值点。由于二次函数的导数从正变负，说明函数在 \( x = 1 \) 处达到局部最大值。
最后，我们将 \( x = 1 \) 代入原函数，计算极值：
\[ f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 \]
\[ f(1) = -2 + 4 + 1 \]
\[ f(1) = 3 \]
因此，二次函数 \( f(x) = -2x^2 + 4x + 1 \) 在 \( x = 1 \) 处取得极大值，极大值为 3。
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