tanx的反函数，即arctanx，之所以是有界函数，是因为正切函数tanx在其定义域内具有周期性和有界性。具体来说：
1. 周期性：正切函数tanx是周期函数，周期为π。这意味着对于任何实数x，都有tan(x + kπ) = tanx，其中k是任意整数。因此，arctanx的反函数也继承了这种周期性。
2. 有界性：在任意一个周期内，正切函数tanx的值域是(-∞, +∞)，但是其绝对值不会超过1。这是因为tanx在(-π/2, π/2)区间内是单调的，且其极限在两端分别为-∞和+∞。因此，当x属于(-π/2, π/2)时，tanx的值域是有界的。
3. 反函数的性质：由于arctanx是tanx的反函数，它将正切函数的值域(-∞, +∞)映射回其定义域(-π/2, π/2)。在这个区间内，arctanx的值是有界的，即其值域被限制在(-π/2, π/2)。
综上所述，arctanx作为tanx的反函数，其值域是有界的，因为正切函数在其定义域内是有界的。
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