2020年考研数学1真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数f(x) = x^3 - 3x，求f(x)的极值点。
解析：f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x = ±1。f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，f''(-1) = -6 < 0。故x = 1是f(x)的极小值点，x = -1是f(x)的极大值点。
2. 设A = |a| + |b| + |c|，B = |a^2 + b^2 + c^2|，则A与B的大小关系是？
解析：由柯西不等式得，A^2 = (|a| + |b| + |c|)^2 ≤ (1^2 + 1^2 + 1^2)(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) = 3(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2)，即A ≤ √3B。故A ≤ B。
3. 设f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求f(x)的导数f'(x)。
解析：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
4. 设a、b、c为实数，且a^2 + b^2 + c^2 = 1，求(a + b + c)^2的最大值。
解析：由柯西不等式得，(a + b + c)^2 ≤ (1^2 + 1^2 + 1^2)(a^2 + b^2 + c^2) = 3。故(a + b + c)^2的最大值为3。
5. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的零点。
解析：由f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，令f'(x) = 0，得x = 1 ± √2/3。f(1 - √2/3) = 0，f(1 + √2/3) = 0。故f(x)的零点为x = 1 ± √2/3。
二、填空题
1. 设f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f(x)的极值点为______。
解析：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，令f'(x) = 0，得x = 1 ± √2/3。故f(x)的极值点为x = 1 ± √2/3。
2. 设a、b、c为实数，且a^2 + b^2 + c^2 = 1，则(a + b + c)^2的最大值为______。
解析：由柯西不等式得，(a + b + c)^2 ≤ 3。故(a + b + c)^2的最大值为3。
三、解答题
1. 求极限：lim(x→0) (sinx - x) / (x^3)。
解析：利用洛必达法则，lim(x→0) (sinx - x) / (x^3) = lim(x→0) (cosx - 1) / (3x^2) = lim(x→0) (-sinx) / (6x) = lim(x→0) (-1) / (6) = -1/6。
2. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
解析：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，令f'(x) = 0，得x = 1 ± √2/3。f(0) = -1，f(1 - √2/3) = 0，f(1 + √2/3) = 0，f(2) = 1。故f(x)在区间[0, 2]上的最大值为1，最小值为-1。
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