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题目：已知函数 \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \)，求证：当 \( x > 0 \) 时，\( f(x) \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。
解答：首先，对函数 \( f(x) \) 求导，得 \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \)。化简得 \( f'(x) = \frac{x - 1}{x^2} \)。由于 \( x > 0 \)，显然 \( x^2 > 0 \)。又因为 \( x - 1 \) 在 \( x > 1 \) 时为正，在 \( 0 < x < 1 \) 时为负，所以 \( f'(x) \) 在 \( x > 1 \) 时为正，在 \( 0 < x < 1 \) 时为负。因此，\( f(x) \) 在 \( (0, 1) \) 上单调递减，在 \( (1, +\infty) \) 上单调递增。但由于 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 时为零，且 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 时取得局部最小值，故 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。
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