在探讨考研数学中的极值与拐点问题时，我们需要深入理解这两个概念在函数图像中的具体表现。极值是指函数在某个区间内达到的最大值或最小值，而拐点则是函数曲线凹凸性发生变化的点。以下是几个典型习题，帮助考生巩固这一知识点：
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，求f(x)的极大值和极小值。
解答：首先对f(x)求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 4。令f'(x) = 0，解得x = 1或x = 2/3。再对f'(x)求导，得到f''(x) = 6x - 6。当x = 1时，f''(1) = 0，故x = 1为f(x)的拐点；当x = 2/3时，f''(2/3) = -2，故x = 2/3为f(x)的极小值点。计算f(1) = 2，f(2/3) = 4/27，因此f(x)的极大值为2，极小值为4/27。
2. 已知函数f(x) = e^x - x^2，求f(x)的拐点。
解答：对f(x)求导，得到f'(x) = e^x - 2x。再对f'(x)求导，得到f''(x) = e^x - 2。令f''(x) = 0，解得x = ln2。因此，f(x)的拐点为x = ln2。
3. 已知函数f(x) = sinx + x^3，求f(x)的极值。
解答：对f(x)求导，得到f'(x) = cosx + 3x^2。令f'(x) = 0，解得x = 0或x = ±√(2/3)。再对f'(x)求导，得到f''(x) = -sinx + 6x。当x = 0时，f''(0) = 0，故x = 0为f(x)的拐点；当x = ±√(2/3)时，f''(±√(2/3)) = ±√3/3，故x = ±√(2/3)为f(x)的极值点。计算f(0) = 0，f(±√(2/3)) = ±(2/3)√3，因此f(x)的极值为±(2/3)√3。
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