在考研数学中，不定积分是基础也是重点，以下是一道典型的不定积分习题：
题目：计算不定积分 $\int x^3 e^x \, dx$。
解题步骤如下：
1. 使用分部积分法，设 $u = x^3$，则 $du = 3x^2 \, dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
2. 根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，代入上述 $u$、$dv$、$v$ 和 $du$ 的值，得到：
\[
\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - \int 3x^2 e^x \, dx
\]
3. 再次使用分部积分法，设 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
4. 同样根据分部积分公式，代入上述 $u$、$dv$、$v$ 和 $du$ 的值，得到：
\[
\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx
\]
5. 继续使用分部积分法，设 $u = x$，则 $du = dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
6. 根据分部积分公式，代入上述 $u$、$dv$、$v$ 和 $du$ 的值，得到：
\[
\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx
\]
7. 最后，计算 $\int e^x \, dx$，得到 $e^x$。
将上述结果代入原式，得到：
\[
\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - 3(x^2 e^x - 2(x e^x - e^x)) + 6(e^x - e^x) + C
\]
其中 $C$ 为积分常数。
简化后得到最终答案：
\[
\int x^3 e^x \, dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C
\]
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