例题：已知实数 \(a, b, c\) 满足 \(a+b+c=3\)，且 \(abc \neq 0\)，求证：\((a+b+c)^2 \geq 4(ab+bc+ca)\)。
证明：
由基本不等式（算术平均数大于等于几何平均数）可得：
\[ \frac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \]
两边同时立方，得：
\[ (a+b+c)^3 \geq 27abc \]
展开左边，得：
\[ a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 6abc \geq 27abc \]
整理，得：
\[ a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) \geq 21abc \]
由 \(a+b+c=3\)，得 \(a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) = 9 - 2(ab+bc+ca)\)，
代入上式，得：
\[ 3[(9 - 2(ab+bc+ca)) - (ab+bc+ca)] + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) \geq 21abc \]
化简，得：
\[ 27 - 9(ab+bc+ca) + 3(ab+bc+ca) \geq 21abc \]
\[ 27 - 6(ab+bc+ca) \geq 21abc \]
\[ 27 \geq 21abc + 6(ab+bc+ca) \]
\[ 27 \geq 6ab + 6bc + 6ca + 21abc \]
\[ 27 \geq 6(ab+bc+ca) + 21abc \]
\[ 27 \geq 6(ab+bc+ca) + 3 \cdot 7abc \]
\[ 27 \geq 3(2(ab+bc+ca) + 7abc) \]
\[ 9 \geq 2(ab+bc+ca) + 7abc \]
\[ (a+b+c)^2 \geq 4(ab+bc+ca) \]
等号成立当且仅当 \(a = b = c = 1\)。
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