在考研数学中，数列极限是一个重要的考点。以下是一道典型的真题：
题目：已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{3}$，且 $a_1 = 1$。求 $\lim_{n\to\infty} a_n$。
解答思路：
1. 首先，观察数列的递推关系，可以发现 $\{a_n\}$ 是一个单调递减的数列。
2. 其次，根据递推关系，可以推导出 $a_{n+1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}(a_n - \frac{1}{3})$。
3. 令 $b_n = a_n - \frac{1}{3}$，则 $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$。
4. 由于 $\frac{1}{2} < 1$，数列 $\{b_n\}$ 是一个单调递减且有下界的数列，因此 $\lim_{n\to\infty} b_n$ 存在。
5. 由 $b_{n+1} = \frac{1}{2}b_n$ 可得 $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$。
6. 因此，$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$。
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