在历年考研数学中，数列大题一直是考生关注的焦点。以下是一道经典的考研数学数列大题真题：
题目：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{3}$，求$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{3^n}$。
解答：由题意，可得
$$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{3}$$
$$\Rightarrow 2a_{n+1}=a_n+\frac{2}{3}$$
$$\Rightarrow 2a_{n+1}-a_n=\frac{2}{3}$$
设$b_n=2a_n-a_{n-1}$，则$b_n$为等比数列，首项$b_1=\frac{2}{3}$，公比$q=1$，因此
$$b_n=\frac{2}{3}\cdot 1^{n-1}=\frac{2}{3}$$
由$b_n=2a_n-a_{n-1}$，可得
$$2a_n=a_{n-1}+b_n=a_{n-1}+\frac{2}{3}$$
$$\Rightarrow a_n=\frac{a_{n-1}}{2}+\frac{1}{3}$$
又因为$a_1=1$，所以
$$a_n=\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1-2^{n-1}}{1-2}=\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{3}\cdot 2^{n-1}-\frac{1}{3}$$
$$\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{3^n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{3}\cdot 2^{n-1}-\frac{1}{3}}{3^n}$$
$$=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n-1}\cdot 3^n}+\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2^{n-1}}{3^n}-\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{3^n}$$
$$=0+0-0=0$$
因此，$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{3^n}=0$。
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