在数学专业考研的数值分析题目中，以下是一道原创的典型题目：
题目：已知函数 \( f(x) = e^{-x} \sin(x) \)，要求在区间 \([0, 2\pi]\) 上使用辛普森1/3法则进行数值积分，并求出误差估计。
解答：
首先，我们根据辛普森1/3法则的公式，确定步长 \( h \)：
\[ h = \frac{b - a}{3} = \frac{2\pi - 0}{3} = \frac{2\pi}{3} \]
然后，计算 \( f(x) \) 在各个分点 \( x_i \) 的函数值：
\[ x_0 = 0, \quad x_1 = \frac{2\pi}{3}, \quad x_2 = \frac{4\pi}{3}, \quad x_3 = 2\pi \]
\[ f(x_0) = f(0) = 0, \quad f(x_1) = f\left(\frac{2\pi}{3}\right) = e^{-\frac{2\pi}{3}} \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right), \]
\[ f(x_2) = f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = e^{-\frac{4\pi}{3}} \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right), \quad f(x_3) = f(2\pi) = 0 \]
接着，应用辛普森1/3法则计算积分：
\[ \int_0^{2\pi} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3) \right] \]
最后，根据误差估计公式，计算误差 \( E \)：
\[ E \leq \frac{k h^4}{180} \]
其中，\( k \) 是 \( f(x) \) 的四阶导数在积分区间上的最大值。
通过上述步骤，可以得出数值积分的结果及其误差估计。
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