在考研的数学备考过程中，泰勒公式是高等数学中的重要内容，以下是一些常见的泰勒公式及其应用：
1. 基本泰勒公式：设函数\( f(x) \)在\( x=a \)处具有直到\( n+1 \)阶的导数，则
\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o((x-a)^n) \]
其中，\( o((x-a)^n) \)表示比\( (x-a)^n \)高阶的无穷小。
2. 指数函数的泰勒公式：设\( f(x) = e^x \)，则
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \]
其中，\( o(x^n) \)表示比\( x^n \)高阶的无穷小。
3. 对数函数的泰勒公式：设\( f(x) = \ln(1+x) \)，则
\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n) \]
其中，\( o(x^n) \)表示比\( x^n \)高阶的无穷小。
4. 幂函数的泰勒公式：设\( f(x) = x^a \)，则
\[ x^a = 1 + a(x-1) + \frac{a(a-1)}{2!}(x-1)^2 + \cdots + \frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}(x-1)^n + o((x-1)^n) \]
其中，\( o((x-1)^n) \)表示比\( (x-1)^n \)高阶的无穷小。
5. 三角函数的泰勒公式：设\( f(x) = \sin x \)，则
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n-1}) \]
其中，\( o(x^{2n-1}) \)表示比\( x^{2n-1} \)高阶的无穷小。
6. 双曲函数的泰勒公式：设\( f(x) = \sinh x \)，则
\[ \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n-1}) \]
其中，\( o(x^{2n-1}) \)表示比\( x^{2n-1} \)高阶的无穷小。
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