2021年考研数学二试题分析如下：
一、选择题
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f'(x) \) 的零点为：
A. \( x = -1 \)
B. \( x = 1 \)
C. \( x = -2 \)
D. \( x = 2 \)
答案：A
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于：
A. 2
B. 1
C. 0
D. 不存在
答案：A
3. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = O \)，则 \( A \) 的秩为：
A. 0
B. 1
C. \( n \)
D. \( n-1 \)
答案：B
二、填空题
4. 设 \( f(x) = e^x \sin x \)，则 \( f'(x) \) 等于：
答案：\( f'(x) = e^x(\sin x + \cos x) \)
5. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^{-1} \) 的行列式为：
答案：\( |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \)
三、解答题
6. 已知函数 \( f(x) = \ln x \)，求 \( f'(x) \) 和 \( f''(x) \)。
答案：\( f'(x) = \frac{1}{x} \)，\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \)
7. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = O \)，证明 \( A \) 的特征值为0。
答案：设 \( \lambda \) 为 \( A \) 的特征值，对应特征向量为 \( \alpha \)，则 \( A\alpha = \lambda \alpha \)。由于 \( A^2 = O \)，有 \( A^2\alpha = A(A\alpha) = A(\lambda \alpha) = \lambda A\alpha = \lambda^2 \alpha = O \)。因此，\( \lambda^2 = 0 \)，即 \( \lambda = 0 \)。
8. 求解线性方程组 \( \begin{cases} 2x + 3y - z = 1 \\ x - y + 2z = 2 \\ 3x + 2y - z = 3 \end{cases} \)。
答案：\( x = 1 \)，\( y = 1 \)，\( z = 1 \)
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