2020年考研数学一试题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$，则 $f'(1)$ 的值为（ ）
A. -2 B. 0 C. 2 D. 3
答案：C
解析：对 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = 3x^2 - 3$，代入 $x = 1$ 得 $f'(1) = 3 - 3 = 0$。
2. 下列函数中，可导的函数是（ ）
A. $y = |x|$ B. $y = x^2$ C. $y = \sqrt{x}$ D. $y = \frac{1}{x}$
答案：B
解析：选项 A、C、D 中的函数在 $x = 0$ 处不可导，而选项 B 中的函数在实数域内处处可导。
3. 设 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，则 $f'(1)$ 的值为（ ）
A. -2 B. 0 C. 2 D. 无定义
答案：D
解析：由于 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处无定义，因此 $f'(1)$ 也无定义。
二、填空题
1. 设 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则 $f'(0)$ 的值为 _______。
答案：0
解析：对 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$，代入 $x = 0$ 得 $f'(0) = 0$。
2. 设 $f(x) = e^x \sin x$，则 $f''(0)$ 的值为 _______。
答案：-1
解析：对 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x$，再对 $f'(x)$ 求导得 $f''(x) = 2e^x \cos x$，代入 $x = 0$ 得 $f''(0) = 2e^0 \cos 0 = 2$。
三、解答题
1. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 的极值。
答案：极大值 $f(1) = -1$，极小值 $f(-1) = 3$。
解析：对 $f(x)$ 求导得 $f'(x) = 3x^2 - 3$，令 $f'(x) = 0$ 得 $x = \pm 1$。当 $x < -1$ 或 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$；当 $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$。因此，$f(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极大值 $f(-1) = 3$，在 $x = 1$ 处取得极小值 $f(1) = -1$。
2. 求曲线 $y = x^2 e^x$ 在 $x = 0$ 处的切线方程。
答案：$y = x$
解析：对 $y = x^2 e^x$ 求导得 $y' = 2x e^x + x^2 e^x$，代入 $x = 0$ 得 $y'(0) = 0$。又因为 $y(0) = 0$，所以切线方程为 $y = x$。
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