要求函数 \( z = y^x \) 的偏导数，可以使用链式法则和幂法则。首先，我们设 \( u = y \) 和 \( v = x \)，那么 \( z = u^v \)。
对 \( z \) 关于 \( x \) 求偏导数，我们有：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(u^v)
\]
应用链式法则，得到：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = v \cdot u^{v-1} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + u^v \cdot \ln(u) \cdot \frac{\partial v}{\partial x}
\]
由于 \( u = y \) 是关于 \( x \) 的常数，所以 \( \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \)。而 \( v = x \)，所以 \( \frac{\partial v}{\partial x} = 1 \)。
将这些值代入上面的公式，我们得到：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = x \cdot y^{x-1} \cdot 0 + y^x \cdot \ln(y) \cdot 1
\]
因此，\( z \) 关于 \( x \) 的偏导数为：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = y^x \cdot \ln(y)
\]
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