介值定理的证明通常涉及以下步骤：
1. 定义连续函数：首先，确保所讨论的函数在闭区间上连续。介值定理的适用前提是函数在闭区间上连续。
2. 确定函数值：计算函数在区间两端的值，即\( f(a) \)和\( f(b) \)，其中\( a \)和\( b \)是闭区间的端点。
3. 分析函数值：根据\( f(a) \)和\( f(b) \)的符号，判断函数值在区间内的变化趋势。如果\( f(a) \)和\( f(b) \)异号，即一个为正一个为负，则根据介值定理，至少存在一个\( c \)在\( a \)和\( b \)之间，使得\( f(c) = 0 \)。
4. 应用零点定理：如果\( f(a) \)和\( f(b) \)异号，应用零点定理，可以找到一个\( c \)在\( a \)和\( b \)之间，使得\( f(c) = 0 \)。
5. 证明介值定理：通过构造辅助函数，利用罗尔定理或中值定理，证明在\( a \)和\( b \)之间存在至少一个\( c \)，使得\( f(c) \)等于\( f(a) \)和\( f(b) \)之间的任意值。
6. 结论：得出结论，即函数在闭区间上连续，且两端函数值异号时，函数在该区间内至少存在一个零点。
【考研刷题通】——您的考研刷题小助手，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您高效刷题，轻松备战！立即下载，开启您的考研刷题之旅！微信搜索“考研刷题通”，开启您的考研之路！