二项分布的矩母函数推导如下：
首先，定义二项分布的概率质量函数（PMF）为：
\[ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \]
其中，\( n \) 是试验次数，\( k \) 是成功次数，\( p \) 是每次试验成功的概率。
矩母函数（MGF）是概率分布的期望的函数，定义为：
\[ M_X(t) = E[e^{tX}] \]
对于二项分布，其矩母函数可以通过以下步骤推导：
1. 将概率质量函数代入矩母函数的定义中：
\[ M_X(t) = \sum_{k=0}^{n} e^{tk} P(X=k) \]
\[ M_X(t) = \sum_{k=0}^{n} e^{tk} C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \]
2. 使用二项式定理展开 \( (e^t + 1 - p)^n \)：
\[ (e^t + 1 - p)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k e^{tk} (1-p)^{n-k} \]
3. 将二项式定理展开的结果代入矩母函数中：
\[ M_X(t) = \sum_{k=0}^{n} C_n^k e^{tk} p^k (1-p)^{n-k} \]
\[ M_X(t) = (e^t + 1 - p)^n \]
因此，二项分布的矩母函数为：
\[ M_X(t) = (e^t + 1 - p)^n \]
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