三阶导数公式的推导基于微分的链式法则和导数的线性性质。以下是具体过程：
1. 定义函数和其导数：设函数 \( f(x) \) 在某点 \( x \) 可导，则其导数 \( f'(x) \) 存在。
2. 应用链式法则：对 \( f'(x) \) 再次求导，得到 \( f''(x) \)。根据链式法则，\( f''(x) \) 可以表示为：
\[
f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}
\]
3. 展开 \( f'(x+h) \)：利用导数的定义，\( f'(x+h) \) 可以展开为：
\[
f'(x+h) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x+h+k) - f(x+h)}{k}
\]
4. 代入并简化：将 \( f'(x+h) \) 的展开式代入 \( f''(x) \) 的定义中，得到：
\[
f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\lim_{k \to 0} \frac{f(x+h+k) - f(x+h)}{k} - \lim_{k \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{k}}{h}
\]
5. 应用极限的性质：由于 \( \lim_{k \to 0} \frac{f(x+h+k) - f(x+h)}{k} \) 和 \( \lim_{k \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{k} \) 分别是 \( f''(x) \) 和 \( f'(x) \)，所以上式可以简化为：
\[
f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f''(x) - f'(x)}{h}
\]
6. 再次应用极限：由于 \( f''(x) \) 是常数，所以上式可以进一步简化为：
\[
f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f''(x) - f'(x)}{h} = f'''(x)
\]
因此，我们得到了三阶导数公式：\( f'''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f''(x+h) - f''(x)}{h} \)。
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