在数学中，函数 \( y = x^{\sin x} \) 的导数和微分可以通过链式法则和指数函数的导数公式来求解。
首先，我们利用指数和对数的关系将原函数转化为更易处理的形式。设 \( y = x^{\sin x} \)，则可以写成 \( y = e^{\sin x \cdot \ln x} \)。接下来，我们分别对 \( \sin x \cdot \ln x \) 进行求导。
根据乘积法则，\( (\sin x \cdot \ln x)' = (\sin x)' \cdot \ln x + \sin x \cdot (\ln x)' \)。由于 \( (\sin x)' = \cos x \) 和 \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)，我们有：
\[ (\sin x \cdot \ln x)' = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x} \]
现在，我们可以求 \( y \) 的导数：
\[ y' = e^{\sin x \cdot \ln x} \cdot (\sin x \cdot \ln x)' = x^{\sin x} \cdot (\cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}) \]
微分 \( dy \) 可以通过 \( y' \) 来求得：
\[ dy = y' \cdot dx = x^{\sin x} \cdot (\cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}) \cdot dx \]
综上所述，函数 \( y = x^{\sin x} \) 的导数为 \( y' = x^{\sin x} \cdot (\cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}) \)，微分 \( dy \) 为 \( dy = x^{\sin x} \cdot (\cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}) \cdot dx \)。
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