带根号的函数求导，可以通过以下步骤进行：
1. 识别根号内部：首先确定根号内的表达式，例如 \( \sqrt{x} \) 中的 \( x \) 或 \( \sqrt{a^2 + b^2} \) 中的 \( a^2 + b^2 \)。
2. 应用链式法则：将根号函数看作外函数，根号内部的表达式看作内函数。根号函数通常表示为 \( f(u) = u^{1/2} \)，其中 \( u \) 是根号内的表达式。
3. 求内函数的导数：对根号内部的表达式求导。例如，若 \( u = x \)，则 \( u' = 1 \)；若 \( u = a^2 + b^2 \)，则 \( u' = 2a \cdot a' + 2b \cdot b' \)。
4. 外函数的导数：外函数 \( f(u) = u^{1/2} \) 的导数是 \( f'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} \)。
5. 应用链式法则：将外函数的导数与内函数的导数相乘，即 \( (f \circ g)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。
例如，求 \( \sqrt{x^2 + 1} \) 的导数：
- 内函数 \( u = x^2 + 1 \)，其导数 \( u' = 2x \)。
- 外函数 \( f(u) = u^{1/2} \)，其导数 \( f'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} \)。
- 应用链式法则：\( f'(x^2 + 1) \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)。
所以，\( \sqrt{x^2 + 1} \) 的导数是 \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)。
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