要求函数 \( x^{\cos x} \) 的导数，可以使用复合函数求导法则，即链式法则。具体步骤如下：
1. 定义内函数和外函数：设 \( u = \cos x \)，则原函数可以写作 \( f(x) = x^u \)。
2. 对内函数求导：求 \( u = \cos x \) 的导数，得 \( u' = -\sin x \)。
3. 对外函数求导：由于 \( f(x) = x^u \)，我们可以将其写作 \( f(x) = e^{u \ln x} \)（这是通过 \( x^u = e^{u \ln x} \) 来转换的，因为 \( a^b = e^{b \ln a} \)）。然后对 \( e^{u \ln x} \) 求导，得到 \( f'(x) = e^{u \ln x} \cdot (u' \ln x + \frac{u}{x}) \)。
4. 代入 \( u \) 和 \( u' \)：将 \( u = \cos x \) 和 \( u' = -\sin x \) 代入上式，得到 \( f'(x) = e^{\cos x \ln x} \cdot (-\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x}) \)。
5. 简化表达式：因为 \( e^{\cos x \ln x} = x^{\cos x} \)，所以最终的导数为 \( f'(x) = x^{\cos x} \cdot (-\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x}) \)。
综上，\( x^{\cos x} \) 的导数为 \( x^{\cos x} \cdot (-\sin x \ln x + \frac{\cos x}{x}) \)。
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