考研数学中的等价无穷小：轻松掌握高频考点

介绍

在考研数学中，等价无穷小是函数极限计算的核心技巧之一。它不仅能简化复杂的极限问题，还能在选择题和填空题中快速找到答案。然而，很多考生容易混淆不同阶次的无穷小，或者记错常用等价无穷小的公式。本文将通过几个典型问题，帮你彻底搞懂等价无穷小的使用方法和注意事项，让你在考试中少走弯路。等价无穷小的本质是近似替代，但在特定条件下这种替代必须严格遵循“同阶可替”的原则，否则可能导致计算错误。

常见问题解答

问题1：如何快速判断两个无穷小是否等价？

答：判断两个无穷小是否等价，关键在于比较它们的阶次和主导项。以x→0为例，基本等价无穷小有：sin x ≈ x，tan x ≈ x，1-cos x ≈ x2/2，ex-1 ≈ x，ln(1+x) ≈ x。当两个无穷小的最高阶项系数相同时，它们才可能等价。例如，x3和x2在x→0时显然不等价，因为x3比x2消失得更快。更复杂的判断可以通过泰勒展开的前几项比较，比如x-sin x ≈ x x + x3/6 = x3/6，说明在x→0时sin x比x高一阶。记住“高阶吞低阶，同阶系数比”的原则，可以简化判断过程。

问题2：在乘除运算中如何正确使用等价无穷小？

答：等价无穷小在乘除运算中可以放心替代，但在加减运算中必须谨慎。以(1+x)ln(1+x)为例，当x→0时，ln(1+x)≈x，但(1+x)ln(1+x)≈1·x=x，不能简单地用x替代整个表达式。正确做法是展开到第二项：(1+x)ln(1+x)≈1+x·x=1+x2。再比如lim(x→0)(x-sin x)/x3，如果直接用sin x≈x替代，会得到0/0形式，而正确展开到x3项是：x (x x3/6)/x3 = x3/6/x3 = 1/6。关键在于：在乘除中可以替代，但在加减中必须保留至少一个非零高阶项。特别像x2和x3虽然都是无穷小，但x2/x3=x?1在x→0时趋于无穷大，不能随意替代。

问题3：复合函数的等价无穷小如何展开？

答：对于复合函数的等价无穷小，需要按照“由外向内”的顺序逐步展开。例如，当x→0时，(sin x)3和esin x的等价无穷小可以这样求解：(sin x)3 ≈ (x)3 = x3；(ex-1)·ex ≈ x·1 = x。再比如lim(x→0)(1-cos x)·ln(1+x)，先分别展开：(1-cos x)≈x2/2，ln(1+x)≈x，相乘后为x2/2·x=x3/2。对于嵌套更深的函数，如tan(sin x)，可以先用sin x≈x替代，得到tan x≈x，再进一步展开。记住两点：1) 复合函数的等价无穷小是链式反应；2) 每次替代后要保留至少一个非零项。特别像cos(sin x)≈cos x≈1，不能直接用sin x≈x得到cos x≈x，因为cos函数的导数是-sin x，高阶项不能忽略。