在考研数学中，常用不等式公式主要包括以下几种：
1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意正实数\(a_1, a_2, ..., a_n\)，有
\[ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \]
等号成立当且仅当\(a_1 = a_2 = ... = a_n\)。
2. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列\(a_1, a_2, ..., a_n\)和\(b_1, b_2, ..., b_n\)，有
\[ (a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2 \]
等号成立当且仅当\(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = ... = \frac{a_n}{b_n}\)。
3. 切比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）：对于任意随机变量\(X\)，若\(E(X) = \mu\)，\(D(X) = \sigma^2\)，则对于任意正实数\(k\)，有
\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
4. 欧拉不等式（Euler's Inequality）：对于任意正实数\(x\)，有
\[ e^x \geq 1 + x \]
等号成立当且仅当\(x = 0\)。
5. 勒贝格不等式（Lebesgue Inequality）：对于任意实数序列\(a_1, a_2, ..., a_n\)和\(b_1, b_2, ..., b_n\)，有
\[ \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \]
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