在考研数学中，常用不等式主要包括以下几种：
1. 算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式）：对于任意正实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，有 \(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}\)。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数序列 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) 和 \(y_1, y_2, \ldots, y_n\)，有 \((x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n)^2\)。
3. 均值不等式：对于任意实数 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 和 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)，有 \(\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \cdot \frac{b_1 + b_2 + \ldots + b_n}{n} \leq \sqrt{\frac{(a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2)}{n^2}}\)。
4. 切比雪夫不等式：对于任意随机变量 \(X\) 和任意正数 \(\varepsilon\)，有 \(P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{\text{Var}(X)}{\varepsilon^2}\)。
5. 拉格朗日中值定理：如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，那么存在 \(\xi \in (a, b)\)，使得 \(f'( \xi ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)。
6. 泰勒公式：如果函数 \(f(x)\) 在包含点 \(a\) 的某个开区间内具有直到 \(n+1\) 阶的导数，那么在 \(a\) 的某个邻域内，有 \(f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + o((x-a)^n)\)。
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