在2022年考研数学中，积分不等式是重要的考点之一。这类题目通常要求考生掌握积分的基本性质，能够灵活运用积分中值定理、积分极限等概念来解决不等式问题。以下是一个关于积分不等式的原创解题示例：
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【例题】证明：对于任意正实数\(a\)和\(b\)，有
\[
\int_0^1 \frac{x^2}{a+b}dx \geq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)
\]
【解题过程】
首先，将不等式左边进行换元积分，设\(u = x^2\)，则\(du = 2xdx\)，从而有
\[
\int_0^1 \frac{x^2}{a+b}dx = \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{u}{a+b}du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^2}{2(a+b)}\right]_0^1 = \frac{1}{4(a+b)}
\]
接下来，观察右边的表达式，可以将其视为\(a+b\)的加权平均数，即
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}\right) = \frac{1}{2}
\]
因此，原不等式转化为
\[
\frac{1}{4(a+b)} \geq \frac{1}{2}
\]
显然，这个不等式在\(a+b>0\)时恒成立。
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