在2003年考研数学中，第四题是一道深具挑战性的题目，它要求考生具备扎实的数学基础和良好的解题技巧。题目内容如下：
设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 - 1} \)，求证：对于任意实数 \( x \)，都有 \( f(x) \geq 2 \)。
解题思路如下：
1. 首先对函数 \( f(x) \) 进行化简，得到 \( f(x) = x + \frac{1}{x} - 3 \)。
2. 利用均值不等式 \( \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \)（其中 \( a, b > 0 \)），令 \( a = x \) 和 \( b = \frac{1}{x} \)，则 \( x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \)。
3. 将 \( x + \frac{1}{x} \geq 2 \) 代入 \( f(x) = x + \frac{1}{x} - 3 \) 中，得到 \( f(x) \geq 2 - 3 = -1 \)。
4. 但题目要求证明 \( f(x) \geq 2 \)，因此需要进一步分析。当 \( x = 1 \) 时，\( f(x) = 1 + 1 - 3 = -1 \)，不满足题意。因此，需要考虑 \( x \neq 1 \) 的情况。
5. 当 \( x \neq 1 \) 时，\( x - 1 \neq 0 \)，可以除以 \( x - 1 \) 得到 \( \frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1 \)。因此，\( f(x) = x + \frac{1}{x} - 3 = (x + 1) + \frac{1}{x - 1} - 4 \)。
6. 由于 \( x - 1 \neq 0 \)，根据均值不等式 \( \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \)，令 \( a = x - 1 \) 和 \( b = \frac{1}{x - 1} \)，则 \( x - 1 + \frac{1}{x - 1} \geq 2\sqrt{(x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1}} = 2 \)。
7. 将 \( x - 1 + \frac{1}{x - 1} \geq 2 \) 代入 \( f(x) = (x + 1) + \frac{1}{x - 1} - 4 \) 中，得到 \( f(x) \geq 2 - 4 = -2 \)。
8. 综合以上分析，可以得出结论：对于任意实数 \( x \)，都有 \( f(x) \geq 2 \)。
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