考研数学二2019年第23题是一道综合性较强的题目，主要考察了线性代数、概率论与数理统计以及常微分方程等知识点的综合运用。题目内容大致如下：
设随机变量\(X\)服从参数为\(1\)的指数分布，随机变量\(Y\)服从参数为\(2\)的泊松分布。\(X\)和\(Y\)相互独立。
（1）求\(P(X+Y \geq 3)\)；
（2）求\(E(XY)\)；
（3）求\(X\)和\(Y\)的相关系数\(r_{XY}\)。
解答过程如下：
（1）由于\(X\)和\(Y\)相互独立，所以\(P(X+Y \geq 3) = P(X \geq 3)P(Y \geq 0)\)。
对于指数分布，\(P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - (1 - e^{-3}) = e^{-3}\)。
对于泊松分布，\(P(Y \geq 0) = 1 - P(Y < 0) = 1 - e^{-2} = 1 - \frac{1}{e^2}\)。
因此，\(P(X+Y \geq 3) = e^{-3} \times (1 - \frac{1}{e^2})\)。
（2）由于\(X\)和\(Y\)相互独立，所以\(E(XY) = E(X)E(Y)\)。
\(E(X) = \int_0^\infty x e^{-x} dx = 1\)，\(E(Y) = \sum_{k=0}^\infty k \times \frac{2^k e^{-2}}{k!} = 2\)。
因此，\(E(XY) = 1 \times 2 = 2\)。
（3）\(X\)和\(Y\)的相关系数\(r_{XY}\)的计算公式为：
\(r_{XY} = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\)。
其中，\(D(X) = \int_0^\infty (x - E(X))^2 e^{-x} dx = 1\)，\(D(Y) = \sum_{k=0}^\infty (k - E(Y))^2 \times \frac{2^k e^{-2}}{k!} = 2\)。
因此，\(r_{XY} = \frac{2 - 1 \times 2}{\sqrt{1 \times 2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0\)。
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