在解决考研数学不定积分问题时，以下是一个典型例题：
例题：求函数 \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) 的不定积分 \( \int \sqrt{x^2 + 1} \, dx \)。
解题过程：
首先，我们识别出这是一个基本的积分形式，可以通过代换法来解决。设 \( u = x^2 + 1 \)，则 \( du = 2x \, dx \) 或者 \( dx = \frac{du}{2x} \)。
将 \( dx \) 代入原积分表达式，得到：
\[ \int \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2x} \]
由于 \( \sqrt{u} \) 中包含 \( u \)，而 \( x \) 在 \( du \) 中，我们可以尝试将 \( x \) 从分母中消去。注意到 \( x = \sqrt{u - 1} \)，因此 \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{u - 1}} \)。
代入后，积分变为：
\[ \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2 \sqrt{u - 1}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u - 1}} \, du \]
接下来，我们可以将分子和分母同时乘以 \( \sqrt{u + 1} \) 来简化积分：
\[ \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u} \cdot \sqrt{u + 1}}{\sqrt{u - 1} \cdot \sqrt{u + 1}} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u(u + 1)}}{\sqrt{(u - 1)(u + 1)}} \, du \]
此时，分子可以分解为 \( \sqrt{u^2 + u} \)，而分母为 \( \sqrt{u^2 - 1} \)。因此，积分进一步简化为：
\[ \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u^2 + u}}{\sqrt{u^2 - 1}} \, du \]
最后，通过适当的代换和积分技巧，我们可以得到积分的结果。这里为了简洁，我们不再展开具体计算过程。
答案：\( \int \sqrt{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} (x\sqrt{x^2 + 1} + \ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|) + C \)
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