在考研数学二中，反常积分是常考点，它不仅考验学生对积分概念的理解，还要求学生具备解决实际问题的能力。以下是一道典型的反常积分题目：
题目：计算反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx$。
解题过程如下：
首先，我们注意到积分的被积函数 $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ 在 $x=0$ 处存在无穷间断点，因此这是一个反常积分。为了解决这个反常积分，我们可以先进行变量替换，令 $u = \sqrt{x}$，则 $x = u^2$，$dx = 2u \, du$。当 $x=0$ 时，$u=0$；当 $x=1$ 时，$u=1$。
将变量替换代入原积分，得到：
$$
\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = \int_0^1 \frac{\ln u^2}{u} \cdot 2u \, du = 2\int_0^1 \ln u \, du.
$$
接下来，我们需要计算 $\int_0^1 \ln u \, du$。这是一个基本的积分问题，可以通过分部积分法来解决。设 $v = \ln u$，$dw = du$，则 $dv = \frac{1}{u} du$，$w = u$。根据分部积分公式 $\int v \, dw = vw - \int w \, dv$，我们有：
$$
\int_0^1 \ln u \, du = u \ln u \bigg|_0^1 - \int_0^1 u \cdot \frac{1}{u} \, du = 0 - \int_0^1 1 \, du = -1.
$$
将上述结果代入原积分，得到：
$$
\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = 2\int_0^1 \ln u \, du = 2 \cdot (-1) = -2.
$$
因此，反常积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx$ 的值为 $-2$。
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