在考研数学中，反常积分是一个常考且较为复杂的概念。以下是一道典型的反常积分真题：
题目：计算反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$。
解答思路：
1. 由于被积函数在 $x=0$ 处不连续，因此需要将积分区间拆分为 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 两部分。
2. 分别计算两个区间的积分，再利用极限的思想将两个积分结果相加。
具体解答如下：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{\sin x}{x} \, dx + \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx.
$$
对于第一个积分，由于 $\sin x$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是连续的，而 $\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是奇函数，因此可以利用奇函数的性质得到：
$$
\int_{-\infty}^{0} \frac{\sin x}{x} \, dx = -\int_{0}^{-\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = -\int_{-\infty}^{0} \frac{\sin x}{x} \, dx.
$$
所以，原积分可以简化为：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = -\int_{-\infty}^{0} \frac{\sin x}{x} \, dx + \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = 2\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx.
$$
对于第二个积分，可以利用洛必达法则计算：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = \lim_{t \to +\infty} \int_{0}^{t} \frac{\sin x}{x} \, dx = \lim_{t \to +\infty} \left[-\cos x \right]_{0}^{t} = \lim_{t \to +\infty} (1 - \cos t).
$$
由于 $\cos t$ 在 $t \to +\infty$ 时趋近于 $1$，因此：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = 1 - 1 = 0.
$$
最终得到：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx = 2 \times 0 = 0.
$$
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