在考研数学中，偏导数与微分方程的结合题型往往考察考生对这两个知识点的综合运用能力。以下是一例偏导数结合微分方程的考研题：
题目：已知函数\( f(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy \)，求函数在点\( (1, 1) \)处的全微分，并求出满足微分方程\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)的函数。
解答：
首先，计算函数\( f(x, y) \)在点\( (1, 1) \)处的偏导数：
\[ f_x'(x, y) = 2x - 2y \]
\[ f_y'(x, y) = 2y - 2x \]
代入点\( (1, 1) \)得：
\[ f_x'(1, 1) = 0 \]
\[ f_y'(1, 1) = 0 \]
因此，函数在点\( (1, 1) \)处的全微分\( df \)为：
\[ df = f_x'(1, 1)dx + f_y'(1, 1)dy = 0dx + 0dy = 0 \]
接下来，解微分方程\( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \)。这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得：
\[ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} \]
两边同时积分得：
\[ \ln |y| = \ln |x| + C \]
\[ y = Cx \]
因此，满足微分方程的函数为\( y = Cx \)，其中\( C \)为任意常数。
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