在考研数学中，不等式证明是一个常见且重要的题型。以下是一道经典的考研不等式证明真题：
题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，证明：对于任意$x>0$，有$f(x)>x$。
证明：
首先，我们定义一个辅助函数$g(x)=f(x)-x=x^3-4x^2+3x+1$。
接着，我们求$g(x)$的导数$g'(x)$：
$$g'(x)=3x^2-8x+3=(3x-1)(x-3)$$
接下来，我们分析$g'(x)$的符号。当$x\in(0,\frac{1}{3})$时，$g'(x)>0$，此时$g(x)$单调递增；当$x\in(\frac{1}{3},3)$时，$g'(x)<0$，此时$g(x)$单调递减；当$x>3$时，$g'(x)>0$，此时$g(x)$单调递增。
由此可知，$g(x)$在$x=\frac{1}{3}$时取得极大值，在$x=3$时取得极小值。计算$g(\frac{1}{3})$和$g(3)$的值，得到：
$$g(\frac{1}{3})=\frac{1}{27}-\frac{4}{9}+\frac{3}{3}+1=\frac{22}{27}>0$$
$$g(3)=27-36+9+1=1>0$$
因此，对于任意$x>0$，$g(x)>0$，即$f(x)>x$。
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