在解析考研反函数极限题时，首先要明确函数的连续性和可导性。假设我们有函数 \( f(x) \) 和其反函数 \( f^{-1}(x) \)。对于反函数极限问题，一般形式为：
\[ \lim_{{x \to a}} f^{-1}(x) \]
1. 连续性与可导性：确保 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处连续且可导。如果 \( f(a) \) 存在，那么 \( f^{-1}(f(a)) = a \)。
2. 反函数求导：使用反函数求导法则，即 \( \frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)。
3. 代入求解：将 \( x \) 的极限值代入反函数，得到极限。
例如，考虑以下问题：
\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin^{-1}(x)}{x} \]
由于 \( \sin^{-1}(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续且可导，并且 \( \sin^{-1}(0) = 0 \)，所以：
\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin^{-1}(x)}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{\cos(\sin^{-1}(x))} \cdot \frac{\sin^{-1}(x)}{x} \]
使用三角恒等式 \( \cos(\sin^{-1}(x)) = \sqrt{1-x^2} \)，并且 \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin^{-1}(x)}{x} = 1 \)（根据反函数的求导法则），得到：
\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin^{-1}(x)}{x} = \frac{1}{\sqrt{1-0^2}} \cdot 1 = 1 \]
通过上述步骤，我们解决了反函数极限问题。
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