在数学考研中，公式推导是基础也是关键。以下是一些常见的数学考研公式推导：
1. 二项式定理：
\[
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]
推导：利用数学归纳法，当 \( n=1 \) 时，公式成立。假设 \( n=k \) 时公式成立，则 \( n=k+1 \) 时，利用二项式展开，可以得到 \( (a+b)^{k+1} \) 的展开式，进而证明公式对 \( n=k+1 \) 也成立。
2. 拉格朗日中值定理：
如果函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得
\[
f'( \xi ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\]
推导：构造辅助函数 \( F(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) \)，利用罗尔定理证明 \( F(x) \) 在 \([a, b]\) 上存在零点。
3. 积分中值定理：
如果函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则存在 \( \eta \in [a, b] \)，使得
\[
\int_a^b f(x) \, dx = f(\eta)(b - a)
\]
推导：构造辅助函数 \( F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \)，利用微积分基本定理和拉格朗日中值定理证明。
4. 极限洛必达法则：
如果函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在 \( x \to a \) 时都趋向于 0 或无穷大，且 \( g'(x) \neq 0 \)，则
\[
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
推导：构造辅助函数 \( F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \)，利用洛必达法则证明。
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