考研数学中的基本不等式是解决多项选择题和证明题的重要工具。以下是对其的总结：
1. 箱根不等式：对于任意正数a、b，有\( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)，当且仅当a=b时取等号。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a、b，有\( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)，当且仅当a=b时取等号。
3. 算术平均数-几何平均数不等式：对于任意非负实数a、b，有\( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)，当且仅当a=b时取等号。
4. 平方和不等式：对于任意实数a、b，有\( (a+b)^2 \geq 4ab \)，当且仅当a=b时取等号。
5. 平方差不等式：对于任意实数a、b，有\( (a-b)^2 \geq 0 \)，当且仅当a=b时取等号。
6. 欧几里得不等式：对于任意实数a、b，有\( (a+b)^2 \geq 4ab \)，当且仅当a=b时取等号。
7. 柯西不等式：对于任意实数序列\( x_1, x_2, \ldots, x_n \)和\( y_1, y_2, \ldots, y_n \)，有\( (x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n)^2 \)，当且仅当\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \ldots = \frac{x_n}{y_n} \)时取等号。
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