考研基本不等式大全如下：
1. 均值不等式：算术平均数大于等于几何平均数，即 \( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \)。
2. 平方和不等式：\( (a+b)^2 \geq 4ab \)。
3. 柯西-施瓦茨不等式：\( (a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2 \)。
4. 欧几里得不等式：\( a^2 + b^2 \geq 2ab \)。
5. 拉格朗日中值定理：在闭区间 \([a, b]\) 上，若函数 \( f(x) \) 连续，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
6. 柯西中值定理：在闭区间 \([a, b]\) 上，若函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 连续，且 \( g'(x) \neq 0 \)，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} \)。
7. 柯西-施瓦茨不等式推广：\( (a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n)^2 \)。
8. 算术-几何平均不等式：\( \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n} \)。
9. 欧拉不等式：\( (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) \)。
10. 莱布尼茨不等式：\( \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx \geq \int_a^b (f'(x) - g'(x)) \, dx \)。
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