证明数列极限放缩的正确性，首先要明确放缩的原则。在处理数列极限问题时，放缩的目的是通过引入一个适当的放缩因子，将原数列与一个已知极限值或易于计算极限的数列进行比较，从而推导出原数列的极限。
以下是一个典型的放缩过程示例：
设数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 满足条件 \(0 \leq a_n \leq b_n\) 对所有 \(n\) 成立，且 \(\lim_{n \to \infty} b_n = L\)。我们要证明 \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)。
证明：
1. 由条件知，\(\{b_n\}\) 是一个非负数列，且其极限存在，即 \(\lim_{n \to \infty} b_n = L\)。
2. 根据数列极限的定义，对于任意 \(\epsilon > 0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，有 \(|b_n - L| < \epsilon\)。
3. 由于 \(0 \leq a_n \leq b_n\)，所以 \(|a_n - L| \leq |b_n - L|\)。
4. 由步骤2可得，当 \(n > N\) 时，\(|b_n - L| < \epsilon\)，从而 \(|a_n - L| < \epsilon\)。
5. 根据数列极限的定义，\(\lim_{n \to \infty} a_n = L\)。
通过上述证明过程，我们可以看到，通过正确地选择放缩因子 \(b_n\)（这里 \(b_n\) 恒大于等于 \(a_n\)），并利用已知数列 \(\{b_n\}\) 的极限性质，我们能够有效地推导出数列 \(\{a_n\}\) 的极限。
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