置信区间的公式通常用于统计学中，用于估计某个参数的真实值所在的区间范围。对于一个连续随机变量 \( X \)，假设其概率密度函数为 \( f(x; \theta) \)，其中 \( \theta \) 是我们要估计的参数，置信区间的一般形式如下：
\[ \hat{\theta}_L \leq \theta \leq \hat{\theta}_U \]
这里，\( \hat{\theta}_L \) 和 \( \hat{\theta}_U \) 分别是置信区间的下限和上限。置信区间可以通过以下公式计算：
\[ \hat{\theta}_L = \hat{\theta} - z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
\[ \hat{\theta}_U = \hat{\theta} + z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中：
- \( \hat{\theta} \) 是参数 \( \theta \) 的估计值。
- \( z_{\alpha/2} \) 是标准正态分布的临界值，与置信水平 \( 1-\alpha \) 对应。例如，对于95%的置信区间，\( \alpha = 0.05 \)，则 \( z_{\alpha/2} \) 大约为1.96。
- \( \sigma \) 是随机变量 \( X \) 的标准差。
- \( n \) 是样本量。
请注意，置信区间的宽度和精确度受样本量、参数的估计值以及数据的标准差等因素的影响。
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