在求解非齐次线性微分方程的齐次通解时，首先要找到非齐次方程的三个特解。具体步骤如下：
1. 确定特征方程：根据非齐次方程的系数，建立对应的特征方程。
2. 求解特征根：求解特征方程，得到特征根。
3. 构造特解：根据特征根的不同情况（单根、重根、复根），构造出三个非齐次特解。
4. 求齐次方程的通解：将三个非齐次特解相加，得到非齐次方程的通解。
5. 验证解：将得到的通解代入原非齐次方程，验证其是否满足方程。
例如，对于非齐次线性微分方程 \(y'' - 3y' + 2y = e^t\)，其对应的齐次方程为 \(y'' - 3y' + 2y = 0\)。
首先，求解特征方程 \(r^2 - 3r + 2 = 0\)，得到特征根 \(r_1 = 1\) 和 \(r_2 = 2\)。
由于特征根 \(r_1 = 1\) 是单根，我们构造特解 \(y_1 = t e^t\)。
特征根 \(r_2 = 2\) 是单根，我们构造特解 \(y_2 = t^2 e^{2t}\)。
对于非齐次项 \(e^t\)，其特征根 \(r_3 = 1\) 是单根，但已经由 \(y_1\) 覆盖，因此构造特解 \(y_3 = t e^{2t}\)。
将三个特解相加，得到非齐次方程的通解为 \(y = y_1 + y_2 + y_3 = t e^t + t^2 e^{2t} + t e^{2t}\)。
最后，验证 \(y = t e^t + t^2 e^{2t} + t e^{2t}\) 是否满足原非齐次方程。
微信考研刷题小程序：【考研刷题通】——您的考研刷题小助手，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助力您高效备战考研！立即下载，开启高效刷题之旅！