三角形面积的行列式公式推导如下：
设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。根据行列式的定义，三角形ABC的面积S可以用以下行列式表示：
\[ S = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix}
x1 & y1 & 1 \\
x2 & y2 & 1 \\
x3 & y3 & 1 \\
\end{matrix} \right| \]
首先，我们将行列式按照第一行展开：
\[ S = \frac{1}{2} \left( x1(y2 - y3) - y1(x2 - x3) + 1(x3 - x2) \right) \]
接下来，我们将行列式中的常数项移到等式右边：
\[ S = \frac{1}{2} \left( x1(y2 - y3) - y1(x2 - x3) - (x2 - x3) \right) \]
然后，我们可以将等式右边的项重新组合：
\[ S = \frac{1}{2} \left[ x1(y2 - y3) - y1(x2 - x3) - (x2 - x3) + (x2 - x3) \right] \]
\[ S = \frac{1}{2} \left[ (x1 - x2)(y2 - y3) - (y1 - y2)(x2 - x3) \right] \]
最后，我们注意到这个表达式实际上是两个三角形ABC的面积之差，即：
\[ S = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix}
x2 & y2 & 1 \\
x3 & y3 & 1 \\
x2 & y2 & 1 \\
\end{matrix} \right| - \frac{1}{2} \left| \begin{matrix}
x1 & y1 & 1 \\
x2 & y2 & 1 \\
x3 & y3 & 1 \\
\end{matrix} \right| \]
由于这两个行列式的第二行和第三行相同，它们的值都为0，因此：
\[ S = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix}
x1 & y1 & 1 \\
x2 & y2 & 1 \\
x3 & y3 & 1 \\
\end{matrix} \right| \]
这就是三角形面积的行列式公式。
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