在探讨两角和差公式向量推导的过程中，我们首先从向量的基本定义出发，结合向量的加法和数乘运算，逐步深入。设有两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们在平面直角坐标系中的坐标分别为 \((a_1, a_2)\) 和 \((b_1, b_2)\)。两角和差的向量公式如下：
1. 两角和公式：\(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\)
2. 两角差公式：\(\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)\)
推导过程如下：
1. 向量加法：根据向量加法定义，\(\vec{a} + \vec{b}\) 表示从起点 \(O\) 沿着 \(\vec{a}\) 移动，再沿着 \(\vec{b}\) 移动的结果。因此，\(\vec{a} + \vec{b}\) 的坐标是 \((a_1 + b_1, a_2 + b_2)\)。
2. 向量减法：同理，\(\vec{a} - \vec{b}\) 表示从起点 \(O\) 沿着 \(\vec{a}\) 移动，然后反向沿着 \(\vec{b}\) 移动的结果。因此，\(\vec{a} - \vec{b}\) 的坐标是 \((a_1 - b_1, a_2 - b_2)\)。
通过上述推导，我们得到了两角和差公式向量的具体表达式。这不仅有助于我们理解和掌握向量的基本运算，还为解决更复杂的向量问题奠定了基础。
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