在数学中，当极限 \( x \) 趋近于0时，表达式 \( x^x \) 看似矛盾地等于1，实际上这是由于指数函数和对数函数的连续性所导致的结果。下面是详细的解释：
首先，将 \( x^x \) 转化为指数形式，可以写成 \( e^{x \ln x} \)。接下来，我们分析这个极限：
1. 对数函数：当 \( x \) 接近0时，\( \ln x \) 的值是负无穷大（即 \( \ln x \to -\infty \)）。
2. 指数函数：虽然 \( \ln x \) 趋于负无穷，但由于指数函数 \( e^y \) 在 \( y \) 趋于负无穷时，其值趋于0（即 \( e^{-\infty} \to 0 \)）。
所以，\( e^{x \ln x} \) 实际上变成了 \( e^{-\infty} \)，即趋近于0。
然而，这里的“趋近于0”是一个复杂的情况。实际上，当我们使用对数函数的泰勒展开近似时，\( \ln x \) 可以近似为 \( \ln x \approx -x - x^2/2 - \ldots \)。因此，\( x \ln x \) 可以近似为 \( -x^2/2 - \ldots \)，这使得 \( x^x \) 可以近似为 \( e^{-x^2/2} \)。
当 \( x \) 趋近于0时，\( -x^2/2 \) 也趋近于0，因此 \( e^{-x^2/2} \) 趋近于 \( e^0 = 1 \)。
总结来说，虽然 \( \ln x \) 在 \( x \) 趋近于0时趋于负无穷，但 \( e^{x \ln x} \) 由于指数函数的特性，最终趋近于1。
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