要计算函数 \( x^4 \sin x \) 的定积分，我们可以使用分部积分法。分部积分的公式是 \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)。在这个问题中，我们可以选择 \( u = x^4 \) 和 \( dv = \sin x \, dx \)。
首先，计算 \( du \) 和 \( v \)：
- \( du = 4x^3 \, dx \)
- \( v = -\cos x \)（因为 \( \int \sin x \, dx = -\cos x \)）
应用分部积分公式：
\[ \int x^4 \sin x \, dx = x^4 (-\cos x) - \int (-\cos x)(4x^3) \, dx \]
\[ = -x^4 \cos x + 4 \int x^3 \cos x \, dx \]
现在，我们需要再次使用分部积分来计算 \( \int x^3 \cos x \, dx \)。这次我们选择 \( u = x^3 \) 和 \( dv = \cos x \, dx \)。
计算 \( du \) 和 \( v \)：
- \( du = 3x^2 \, dx \)
- \( v = \sin x \)（因为 \( \int \cos x \, dx = \sin x \)）
再次应用分部积分公式：
\[ \int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x - \int \sin x (3x^2) \, dx \]
\[ = x^3 \sin x - 3 \int x^2 \sin x \, dx \]
现在，我们需要计算 \( \int x^2 \sin x \, dx \)。再次使用分部积分，选择 \( u = x^2 \) 和 \( dv = \sin x \, dx \)。
计算 \( du \) 和 \( v \)：
- \( du = 2x \, dx \)
- \( v = -\cos x \)
应用分部积分公式：
\[ \int x^2 \sin x \, dx = x^2 (-\cos x) - \int (-\cos x)(2x) \, dx \]
\[ = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \, dx \]
再次使用分部积分来计算 \( \int x \cos x \, dx \)。选择 \( u = x \) 和 \( dv = \cos x \, dx \)。
计算 \( du \) 和 \( v \)：
- \( du = dx \)
- \( v = \sin x \)
应用分部积分公式：
\[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx \]
\[ = x \sin x + \cos x \]
将这个结果代入之前的积分中：
\[ \int x^2 \sin x \, dx = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) \]
\[ = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x \]
将这个结果代入 \( \int x^3 \cos x \, dx \)：
\[ \int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x - 3(-x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x) \]
\[ = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6\cos x \]
将这个结果代入 \( \int x^4 \sin x \, dx \)：
\[ \int x^4 \sin x \, dx = -x^4 \cos x + 4(x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6\cos x) \]
\[ = -x^4 \cos x + 4x^3 \sin x + 12x^2 \cos x - 24x \sin x - 24\cos x \]
所以，\( x^4 \sin x \) 的定积分是：
\[ \int x^4 \sin x \, dx = -x^4 \cos x + 4x^3 \sin x + 12x^2 \cos x - 24x \sin x - 24\cos x + C \]
其中 \( C \) 是积分常数。
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