在积分学中，x的绝对值函数，即|x|，是一个分段函数。对于|x|的积分，我们可以根据x的正负值分为两个区间进行积分。具体步骤如下：
1. 分段定义：绝对值函数|x|可以表示为：
- 当x ≥ 0时，|x| = x；
- 当x < 0时，|x| = -x。
2. 积分计算：根据分段定义，我们可以将|x|的积分分为两个区间来计算：
- 对于区间[-a, 0]（其中a > 0），由于|x| = -x，所以积分表达式为：
\[ \int_{-a}^{0} -x \, dx \]
- 对于区间[0, b]（其中b > 0），由于|x| = x，所以积分表达式为：
\[ \int_{0}^{b} x \, dx \]
3. 积分求解：
- 对于第一个区间的积分，我们得到：
\[ \int_{-a}^{0} -x \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-a}^{0} = -\frac{(-a)^2}{2} - \left(-\frac{0^2}{2}\right) = -\frac{a^2}{2} \]
- 对于第二个区间的积分，我们得到：
\[ \int_{0}^{b} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{b} = \frac{b^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{b^2}{2} \]
4. 结果合并：将两个区间的积分结果相加，我们得到|x|在整个实数域上的积分结果：
\[ \int_{-a}^{b} |x| \, dx = \int_{-a}^{0} -x \, dx + \int_{0}^{b} x \, dx = -\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} \]
5. 总结：因此，对于|x|的积分，其结果取决于积分区间的上下限。若区间为[-a, b]，则积分结果为：
\[ \int_{-a}^{b} |x| \, dx = -\frac{a^2}{2} + \frac{b^2}{2} \]
【考研刷题通】——考研路上的得力助手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量真题刷题，助你高效备考，轻松应对考研挑战！微信搜索“考研刷题通”，开启你的高效刷题之旅！