考研函数极限例题深度解析：常见问题与答案全攻略

函数极限是考研数学中的重点和难点，很多同学在学习和解题过程中会遇到各种各样的问题。本文将针对考研函数极限常见的例题，结合百科网风格，为大家提供详细的解答和解析，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

函数极限基础回顾与常见问题

函数极限是研究函数在自变量趋近于某个特定值或无穷远处时，函数值的变化趋势。在考研数学中，函数极限的题目往往综合性较强，涉及多种计算方法和技巧。根据历年真题分析，同学们在解题时主要会遇到以下三类问题：未定式极限的计算、函数极限的证明以及极限性质的应用。未定式极限是最常见的题型，包括"0/0"、"∞/∞"、"0·∞"、"1∞"等类型，需要结合洛必达法则、等价无穷小替换等方法进行计算；函数极限的证明则更注重逻辑推理，需要熟练掌握极限的定义和性质；而极限性质的应用则需要灵活运用夹逼定理、单调有界准则等工具。本文将通过具体例题，逐一解析这些问题，并提供解题思路和技巧。

解题技巧与注意事项

在解决函数极限问题时，有几点技巧值得注意。对于未定式极限，要善于观察极限式的结构，选择合适的简化方法。例如，当遇到"0/0"型极限时，可以尝试因式分解、有理化等方法消去未定式，再结合洛必达法则进行计算。等价无穷小替换是简化计算的有效手段，但要注意替换的时机和条件，避免出现错误。再次，对于一些复杂极限，可以采用夹逼定理或单调有界准则进行证明，关键在于构造合适的辅助函数。解题过程中要注重细节，特别是符号运算和逻辑推理的准确性。多练习历年真题，总结常见题型和解题模式，有助于提高解题效率和正确率。

典型例题解析

例题1：计算极限lim(x→0) (sinx x)/x2

【解析】这是一个典型的"0/0"型未定式极限。我们可以尝试使用等价无穷小替换：当x→0时，sinx≈xx3/6。因此原式变为：lim(x→0) [(xx3/6) x]/x2 = lim(x→0) [-x3/6]/x2 = lim(x→0) -x/6 = 0。这个结果也可以通过洛必达法则得到：原式 = lim(x→0) (cosx 1)/2x = lim(x→0) (-sinx)/2 = 0。两种方法都能得到正确答案，但等价无穷小替换更为简洁高效。

例题2：证明极限lim(x→∞) [x-sin(x)/x]/[x+cos(x)/x] = 1

【解析】这个极限涉及到无穷大分式的计算。我们可以将原式变形为：lim(x→∞) [x-sin(x)/x]/[x+cos(x)/x] = lim(x→∞) [1 sin(x)/(x2)]/[1 + cos(x)/(x2)]。由于当x→∞时，sin(x)/(x2)→0，cos(x)/(x2)→0，因此原式≈1。但为了严格证明，我们需要使用夹逼定理：因为-1≤sin(x)≤1，-1≤cos(x)≤1，所以-1/(x2)≤sin(x)/(x2)≤1/(x2)，-1/(x2)≤cos(x)/(x2)≤1/(x2)。因此，原式介于[1-2/(x2)]和[1+2/(x2)]之间，当x→∞时，这两个极限都趋近于1，由夹逼定理可知原式=1。

例题3：计算极限lim(x→1) [(x2-1)/(x-1)]·[ln(x)/x-1]

【解析】这个极限涉及到两个函数的乘积，需要分别处理。(x2-1)/(x-1) = x+1，这是一个简单的多项式除法。对于ln(x)/x-1，我们可以使用洛必达法则：原式 = lim(x→1) [1/x ln(x)/x2] = lim(x→1) [x ln(x)]/x2 = 0/1 = 0。因此，原式 = 2×0 = 0。这个结果也可以通过泰勒展开得到：当x→1时，ln(x)≈x-1(x-1)2/2，因此ln(x)/x-1≈(x-1)/2，原式=2×[-(x-1)/2]=0。