例题：已知函数 \( f(x) = x^2 - 2x + 1 \)，求由曲线 \( y = f(x) \)，直线 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 所围成的平面图形的面积。
解题步骤：
1. 确定积分区间：由题意知，积分区间为 \( [1, 3] \)。
2. 确定被积函数：由于要求的是平面图形的面积，所以被积函数为 \( f(x) \)。
3. 计算定积分：根据定积分的定义，所求面积为
\[
S = \int_{1}^{3} (x^2 - 2x + 1) \, dx
\]
4. 求解定积分：
\[
S = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 + x \right]_{1}^{3}
\]
将上下限代入得：
\[
S = \left( \frac{1}{3} \times 3^3 - 3^2 + 3 \right) - \left( \frac{1}{3} \times 1^3 - 1^2 + 1 \right)
\]
\[
S = \left( \frac{27}{3} - 9 + 3 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 1 \right)
\]
\[
S = 9 - 3 - \frac{1}{3}
\]
\[
S = 6 - \frac{1}{3}
\]
\[
S = \frac{17}{3}
\]
所以，由曲线 \( y = f(x) \)，直线 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 所围成的平面图形的面积为 \( \frac{17}{3} \)。
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