在探索考研数学的征途上，一道典型的难题如下：
设函数 \( f(x) = e^x - x^2 \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上的最大值。
解答过程如下：
首先，我们计算函数 \( f(x) \) 的一阶导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = e^x - 2x \]
然后，为了找出可能的极值点，我们需要解方程 \( f'(x) = 0 \)：
\[ e^x - 2x = 0 \]
这个方程没有简单的解析解，因此我们可以使用数值方法（如牛顿法）来近似求解。假设 \( x_0 = 1 \) 为初始猜测，经过几次迭代，我们可以得到 \( x \approx 0.567 \)。
接下来，我们计算 \( f(x) \) 的二阶导数 \( f''(x) \)：
\[ f''(x) = e^x - 2 \]
在 \( x \approx 0.567 \) 处，\( f''(x) \approx e^{0.567} - 2 > 0 \)，说明 \( f(x) \) 在 \( x \approx 0.567 \) 处取得局部极小值。
由于 \( f(x) \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上连续，且 \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 时取得 \( f(0) = 1 \)，在 \( x \to +\infty \) 时，\( f(x) \to +\infty \)，因此 \( f(x) \) 在区间 \([0, +\infty)\) 上的最大值为 \( +\infty \)。
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