在考研数学二中，一道典型的例题如下：
【例题】已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，求函数 \( f(x) \) 的极值。
解题步骤：
1. 求导数： 首先对函数 \( f(x) \) 求一阶导数，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。
2. 求导数的零点： 将 \( f'(x) = 0 \) 解方程，得到 \( x = 1 \) 和 \( x = \frac{2}{3} \)。
3. 求二阶导数： 对 \( f'(x) \) 再次求导，得到 \( f''(x) = 6x - 6 \)。
4. 判断极值： 将 \( x = 1 \) 和 \( x = \frac{2}{3} \) 分别代入 \( f''(x) \)，得 \( f''(1) = 0 \) 和 \( f''\left(\frac{2}{3}\right) = -2 \)。根据二阶导数判别法，\( x = \frac{2}{3} \) 是极大值点，\( x = 1 \) 是极小值点。
5. 计算极值： 将 \( x = \frac{2}{3} \) 和 \( x = 1 \) 分别代入原函数 \( f(x) \)，得 \( f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} + \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{27} \) 和 \( f(1) = 1 - 3 + 4 - 1 = 1 \)。
答案： 函数 \( f(x) \) 在 \( x = \frac{2}{3} \) 处取得极大值 \( -\frac{1}{27} \)，在 \( x = 1 \) 处取得极小值 \( 1 \)。
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