二次型通解公式，即二次型方程的解法，通常用于求解二次型矩阵对应的特征值和特征向量。在数学中，对于形如 \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 \) 的二次型，其中 \( A, B, C \) 为常数，其通解公式如下：
1. 特征值与特征向量的求解：
- 首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，解得特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \)。
- 对应于每个特征值 \( \lambda_i \)，求解线性方程组 \( (A - \lambda_i I)x = 0 \)，得到特征向量 \( x_i \)。
2. 二次型的标准形：
- 根据特征值和特征向量，将二次型 \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 \) 对应的矩阵 \( A \) 转化为对角矩阵 \( \Lambda \)。
- 对角矩阵 \( \Lambda \) 的对角线元素即为二次型的特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n \)。
3. 二次型的通解：
- 将二次型 \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 \) 通过正交变换转化为 \( \Lambda x^2 \) 的形式。
- 其中 \( x \) 是原二次型 \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 \) 的通解，满足 \( x = Qy \)，\( Q \) 为正交矩阵。
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