三角函数的和差公式，如正弦的和差公式、余弦的和差公式等，其推导过程基于三角函数的基本定义和几何性质。以下是推导正弦和差公式的一个简要过程：
1. 几何基础：首先，我们考虑单位圆上任意角度α和β的终边。设这两个角度的终边分别与单位圆交于点A和点B。
2. 正弦和余弦定义：根据三角函数的定义，正弦值是对边与斜边的比值，余弦值是邻边与斜边的比值。因此，我们可以得到点A和B的坐标分别为（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ）。
3. 构造辅助线：连接点A和点B，并作垂直于x轴的线段，交AB于点C。这样，我们就得到了一个直角三角形ABC，其中∠CAB=α，∠CBA=β。
4. 应用勾股定理：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，我们有：
\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
将点A和点B的坐标代入，得到：
\[ (cosα)^2 + (sinα)^2 = (cosβ)^2 + (sinβ)^2 \]
由于在单位圆上，cos²θ + sin²θ = 1，因此上式可以简化为：
\[ 1 = 1 \]
这表明我们的坐标选择是正确的。
5. 推导和差公式：现在，我们考虑角度α和β的和α+β。设点D是单位圆上角度α+β的终边与x轴的交点。我们可以构造一个直角三角形ACD，其中∠CAD=α，∠ADC=β。
根据正弦和余弦的定义，我们有：
\[ sin(α+β) = \frac{AD}{AC} \]
\[ cos(α+β) = \frac{CD}{AC} \]
由于AC是单位圆的半径，即1，所以：
\[ sin(α+β) = AD \]
\[ cos(α+β) = CD \]
利用点A和点B的坐标，我们可以将AD和CD表示为：
\[ AD = cosα \cdot cosβ - sinα \cdot sinβ \]
\[ CD = sinα \cdot cosβ + cosα \cdot sinβ \]
因此，我们得到了正弦和差公式：
\[ sin(α+β) = sinα \cdot cosβ + cosα \cdot sinβ \]
\[ cos(α+β) = cosα \cdot cosβ - sinα \cdot sinβ \]
通过上述步骤，我们推导出了三角函数的和差公式。现在，想要高效备考考研，不妨试试【考研刷题通】小程序，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松刷题，备战考研！
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